Jeu de la boule et gain moyen

Le jeu de la boule est un jeu de casino. C'est une variante du jeu de la roulette, mais avec les chiffres de \(1\) à \(9\). L'objectif est de trouver sur quel numéro du « cylindre » la bille va s'arrêter. Le cylindre de la boule comprend les numéros de \(1\) à \(9\). Chaque numéro est représenté \(4\) fois dans le cylindre.

Partie A : explication du jeu

Les chances simples

Il est possible de miser rouge, noir, manque, passe, pair ou impair.

• Les chiffres \(1\) ; \(3\) ; \(7\) ; \(9\) sont impairs.
  
• Les chiffres \(2\) ; \(4\) ; \(6\) ; \(8\) sont pairs.
  
• Les chiffres \(1\) ; \(3\) ; \(6\) ; \(8\) sont noirs.
  
• Les chiffres \(2\) ; \(4\) ; \(7\) ; \(9\) sont rouges.
  
• Les chiffres \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(4\) sont manques.
  
• Les chiffres \(6\) ; \(7\) ; \(8\) ; \(9\) sont passes.
  

Lors d'un tirage, on a trois possibilités :

• si le \(5\) sort, la mise jouée sur une chance simple est perdue ;
  
• si la chance simple misée sort, le joueur récupère sa mise et gagne une fois sa mise ;
  
• sinon la mise est perdue.
  

Un numéro plein

Il est possible de miser sur un nombre en particulier. Lors d'un tirage, on a deux possibilités :

• si le numéro misé sort, le joueur récupère sa mise et gagne \(7\) fois sa mise ;
  
• sinon la mise est perdue.
  

Il n'est pas possible de miser plusieurs numéros avec un seul jeton.

Partie B : l'idée d'Hugo

Hugo a lu sur Internet qu'il existait une façon infaillible de gagner à ce jeu. Cette stratégie s'appelle la martingale. Hugo l'explique ainsi : « Il faut placer un montant donné sur une chance simple, par exemple le pair, ensuite tant que l'on ne gagne pas, on continue à placer sa mise sur le pair et on double sa mise à chaque lancer de boule. »
Il est maintenant temps de vérifier si cette martingale permet réellement de gagner de l'argent.
Imaginons parier sur un nombre pair.
La première mise sera de \(1\) €, puis, si le nombre tiré n'est pas pair, la mise suivante sera alors de \(2\) €, puis si le nombre tiré n'est toujours pas pair, alors la mise sera de \(4\) € et ainsi de suite jusqu'au moment où le nombre tiré sera pair.

Questions

1. Quel est le gain total lorsque le nombre tiré est pair au premier lancer de boule ?
2. Quel est le gain total lorsque le nombre est impair au premier lancer de boule et pair au deuxième lancer de boule ?
3. Même question si le premier nombre pair apparaît au troisième lancer, au quatrième lancer, au cinquième lancer.
4. Quel type de suite modélise les mises successives (\(1\) €, \(2\) €, \(4\) €...) ? Préciser sa raison.

On donne l'égalité suivante : si \(n\) est entier naturel, on a \(1+2+4+8+...+2^n =2^{n+1}-1\).

5. Vérifier cette égalité pour \(n = 3\), puis \(n=10\).
6. À l'aide de la calculatrice, ou autrement, déterminer le gain total, si le premier nombre pair sort au onzième lancer et si le premier nombre pair sort au vingtième lancer.
6. A-t-on la même probabilité de gagner si l'on joue impair à la place de pair ? Justifier.
7. La technique vue par Hugo sur Internet permet-elle au joueur d'être sûr de gagner ?

Explications adaptées de https://fr.wikipedia.org/wiki/Jeu_de_la_boule_(jeu_de_casino)